Was ist Zufälligkeit?

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Die BBC Radio 4-Sendung 'In Our Time' befasste sich heute mit dem Thema Zufälligkeit. Die In Our Time-Website enthält einen Link zum Programm auf dem iPlayer, falls Sie es beim ersten Mal verpasst haben.

Was ist mit Zufälligkeit gemeint? Nun, ein wirklich zufälliges Ereignis ist nicht deterministisch, d. H. Es ist nicht möglich, das nächste Ergebnis basierend auf den vorherigen Ergebnissen oder auf irgendetwas anderem zu bestimmen.

Tatsächlich sind zufällige Prozesse in vielen Bereichen der Mathematik, Naturwissenschaften und des Lebens im Allgemeinen sehr wichtig, aber wirklich zufällige Prozesse sind bemerkenswert schwer zu erreichen. Warum sollte das so sein? Denn theoretisch sind viele Prozesse, die wir als zufällig betrachten, wie das Würfeln, tatsächlich deterministisch. Sie könnten theoretisch das Ergebnis des Würfelwurfs bestimmen, wenn Sie die genaue Position, Größe usw. kennen.

Der antike griechische Philosoph und Mathematiker Demokrit (ca. 460 v. Chr. – ca. 370 v. Chr.) War Mitglied der als Atomisten bekannten Gruppe. Diese Gruppe von Alten war der Pionier des Konzepts, dass alle Materie in ihre Grundbausteine, Atome, unterteilt werden kann. Demokrit verfügte, dass es keine echte Zufälligkeit gab. Er gab das Beispiel von zwei Männern, die sich an einem Brunnen trafen, die beide ihre Begegnung als reinen Zufall betrachteten. Was sie nicht wussten, ist, dass das Treffen wahrscheinlich von ihren Familien im Voraus arrangiert wurde. Dies kann als Analogie für den deterministischen Würfelwurf angesehen werden: Es gibt Faktoren, die das Ergebnis bestimmen, auch wenn wir sie nicht genau messen oder steuern können.

Epikur (341 v. Chr. – 270 v. Chr.), Ein späterer griechischer Mathematiker, war anderer Meinung. Obwohl er keine Ahnung hatte, wie klein Atome wirklich waren, schlug er vor, dass sie zufällig auf ihren Wegen ausweichen. Egal wie gut wir die Bewegungsgesetze verstehen, es wird immer Zufälligkeit geben, die durch diese zugrunde liegende Eigenschaft von Atomen eingeführt wird.

Aristoteles arbeitete weiter an der Wahrscheinlichkeit, aber es blieb eine nicht mathematische Verfolgung. Er teilte alle Dinge in bestimmte, wahrscheinliche und nicht erkennbare Dinge ein, zum Beispiel schrieb er über das Ergebnis des Werfens von Knöchelknochen, frühe Würfel, als nicht erkennbar.

Wie in vielen anderen Bereichen der Mathematik tauchte das Thema Zufälligkeit und Wahrscheinlichkeit in Europa erst in der Renaissance wieder auf. Der Mathematiker und Spieler Gerolamo Cardano (24. September 1501 – 21. September 1576) schrieb die Wahrscheinlichkeiten des Werfens einer Sechs mit einem Würfel, einer doppelten Sechs mit zwei Würfeln und eines Dreifach mit drei Würfeln korrekt auf. Er war der erste, der die Tatsache bemerkte oder zumindest aufzeichnete, dass Sie mit größerer Wahrscheinlichkeit 7 mit 2 Würfeln werfen als jede andere Zahl. Diese Enthüllungen waren Teil seines Handbuchs für Spieler. Cardano hatte furchtbar unter seiner Vorliebe für Glücksspiele gelitten (manchmal verpfändete er alle Habseligkeiten seiner Familie, landete in einem armen Haus und in Kämpfen). Dieses Buch war seine Art, anderen Spielern zu sagen, wie viel sie setzen sollten und wie sie sich aus Ärger heraushalten können.

Im 17. Jahrhundert arbeiteten Fermat und Pascal zusammen und entwickelten eine formalere Wahrscheinlichkeitstheorie, und Wahrscheinlichkeiten wurden Zahlen zugeordnet. Pascal entwickelte die Idee eines erwarteten Wertes und benutzte bekanntermaßen ein probabilistisches Argument, Pascals Wette, um seinen Glauben an Gott und sein tugendhaftes Leben zu rechtfertigen.

Heutzutage gibt es ausgefeilte Tests, die an einer Folge von Zahlen durchgeführt werden können, um festzustellen, ob die Folge wirklich zufällig ist oder ob sie durch Formel, Mensch oder auf andere Weise bestimmt wurde. Tritt die Zahl 7 beispielsweise ein Zehntel der Zeit auf (plus oder minus eines zulässigen Fehlers)? Wird die Ziffer 1 ein Zehntel der Zeit von einer weiteren 1 gefolgt?

Eine immer ausgefeiltere Reihe von Tests kann in Aktion gesetzt werden. Wir haben den "Pokertest", bei dem Zahlen in 5er-Gruppen analysiert werden, um festzustellen, ob es zwei Paare, drei Gleiche usw. gibt, und die Häufigkeit dieser Muster mit denen verglichen wird, die in einer wirklich zufälligen Verteilung erwartet werden. Der Chi-Quadrat-Test ist der Favorit eines anderen Statistikers. Angesichts der Tatsache, dass ein bestimmtes Muster aufgetreten ist, gibt es eine Wahrscheinlichkeit und ein Konfidenzniveau dafür, dass es durch einen zufälligen Prozess erzeugt wurde.

Aber keiner dieser Tests ist perfekt. Es gibt deterministische Sequenzen, die zufällig aussehen (alle Tests bestehen), dies aber nicht sind. Zum Beispiel sehen die Ziffern der irrationalen Zahl π wie eine Zufallsfolge aus und bestehen alle Tests auf Zufälligkeit, aber das ist es natürlich nicht. π ist eine deterministische Folge von Zahlen – Mathematiker können sie bei ausreichend leistungsfähigen Computern mit beliebig vielen Dezimalstellen berechnen.

Eine andere natürlich vorkommende, scheinbar zufällige Verteilung ist die der Primzahlen. Die Riemann-Hypothese bietet eine Möglichkeit, die Verteilung der Primzahlen zu berechnen, bleibt jedoch ungelöst und niemand weiß, ob die Hypothese für sehr große Werte gültig bleibt. Wie die Ziffern in der irrationalen Zahl π besteht die Verteilung der Primzahlen jedoch alle Zufälligkeitstests. Es bleibt deterministisch, aber unvorhersehbar.

Ein weiteres nützliches Maß für die Zufälligkeit ist eine Statistik namens Kolmogorov Complexity, benannt nach dem russischen Mathematiker des 20. Jahrhunderts. Die Kolmogorov-Komplexität ist die kürzestmögliche Beschreibung einer Folge von Zahlen, zum Beispiel die Folge 01010101 …. könnte einfach als "Repeat 01" beschrieben werden. Dies ist eine sehr kurze Beschreibung, die darauf hinweist, dass die Reihenfolge sicherlich nicht zufällig ist.

Für eine wirklich zufällige Folge wäre es jedoch unmöglich, die Folge von Ziffern in irgendeiner vereinfachten Form zu beschreiben. Die Beschreibung wäre genauso lang wie die Sequenz selbst, was darauf hinweist, dass die Sequenz zufällig zu sein scheint.

In den letzten zwei Jahrhunderten haben Wissenschaftler, Mathematiker, Ökonomen und viele andere erkannt, dass Folgen von Zufallszahlen für ihre Arbeit sehr wichtig sind. Und so wurden im 19. Jahrhundert Methoden entwickelt, um Zufallszahlen zu generieren. Würfel, kann aber voreingenommen sein. Walter Welden und seine Frau verbrachten Monate an ihrem Küchentisch und würfelten 26000 Mal 12 Würfel. Diese Daten waren jedoch aufgrund von Würfelverzerrungen fehlerhaft, was eine schreckliche Schande zu sein scheint.

Die erste veröffentlichte Sammlung von Zufallszahlen erscheint in einem Buch von Leonard HC Tippet aus dem Jahr 1927. Danach gab es viele Versuche, viele fehlerhaft. Eine der erfolgreichsten Methoden war die von John von Neumann, der Pionier der Mittelquadratmethode war, bei der eine 100-stellige Zahl quadriert wird, die mittleren 100 Ziffern aus dem Ergebnis extrahiert und erneut quadriert werden und so weiter. Sehr schnell liefert dieser Prozess eine Reihe von Ziffern, die alle Zufälligkeitstests bestehen.

Bei den US-Präsidentschaftswahlen 1936 deuteten alle Meinungsumfragen auf ein knappes Ergebnis hin, mit einem möglichen Sieg für den Kandidaten der Republikanischen Partei, Alf Landon. In diesem Fall war das Ergebnis ein Erdrutsch für Franklin D. Roosevelt von der Demokratischen Partei. Die Meinungsforscher hatten schlechte Stichprobentechniken gewählt. Bei ihren Versuchen, Hightech zu sein, hatten sie die Leute angerufen, um sie nach ihren Wahlabsichten zu fragen. In den 1930er Jahren war es weitaus wahrscheinlicher, dass wohlhabendere Menschen – hauptsächlich republikanische Wähler – ein Telefon hatten, weshalb die Ergebnisse der Umfragen stark voreingenommen waren. In Umfragen ist eine echte Randomisierung der Stichprobenpopulation von größter Bedeutung.

Ebenso ist es auch bei medizinischen Tests sehr wichtig. Die Auswahl eines voreingenommenen Probensatzes (z. B. zu viele Frauen, zu viele junge Menschen usw.) kann dazu führen, dass ein Medikament mehr oder weniger wahrscheinlich wirkt und das Experiment verzerrt, was möglicherweise gefährliche Folgen hat.

Eines ist sicher: Menschen sind nicht sehr gut darin, zufällige Sequenzen zu produzieren, und sie sind auch nicht sehr gut darin, sie zu erkennen. Wenn ein Mensch mit zwei Punktmustern getestet wird, kann er besonders schlecht entscheiden, welches Muster zufällig erzeugt wurde. Wenn Sie versuchen, eine zufällige Folge von Zahlen zu erstellen, enthalten nur sehr wenige Personen Merkmale wie dreimal hintereinander vorkommende Ziffern, was ein sehr wichtiges Merkmal zufälliger Folgen ist.

Aber gibt es etwas wirklich Zufälliges? Zurück zu den Würfeln, die wir zu Beginn betrachtet haben und bei denen die Kenntnis der genauen Anfangsbedingungen es uns ermöglicht hätte, das Ergebnis vorherzusagen, gilt dies sicherlich für jeden physikalischen Prozess, der eine Reihe von Zahlen erzeugt.

Nun, bis jetzt sind Atom- und Quantenphysik der Bereitstellung wirklich unvorhersehbarer Ereignisse am nächsten gekommen. Bisher ist es unmöglich, genau zu bestimmen, wann ein radioaktives Material zerfällt. Es scheint zufällig, aber vielleicht verstehen wir es einfach nicht. Im Moment bleibt es wahrscheinlich die einzige Möglichkeit, wirklich zufällige Sequenzen zu generieren.

Ernie, der Premium Bond Number Generator der britischen Regierung, befindet sich nun in seiner vierten Reinkarnation. Es muss zufällig sein, um allen Premium-Anleihegläubigern des Landes die gleiche Chance auf einen Preis zu geben. Es enthält einen Chip, der das thermische Rauschen in sich ausnutzt, d. H. Das Ausmaß der Bewegung in den Elektronen. Regierungsstatistiker führen Tests der Zahlenfolgen durch, die dadurch erzeugt werden, und sie bestehen tatsächlich die Tests auf Zufälligkeit.

Andere Anwendungen sind: die zufälligen Primzahlen, die bei Internet-Transaktionen verwendet werden und die Ihre Kreditkartennummer verschlüsseln. Die National Lottery-Maschinen verwenden eine Reihe sehr leichter Kugeln und Luftströme, um sie zu mischen, aber wie die Würfel könnte dies theoretisch vorhergesagt werden.

Schließlich verwendet das Met Office Zufallszahlen für seine Ensemble-Prognosen. Manchmal ist es aufgrund der bekannten "Chaostheorie" schwierig, das Wetter vorherzusagen – dass der Endzustand der Atmosphäre stark von den genauen Anfangsbedingungen abhängt. Es ist unmöglich, die Anfangsbedingungen mit der erforderlichen Präzision zu messen. Daher speisen Atmosphärenforscher ihren Computermodellen verschiedene Szenarien ein, wobei die Anfangsbedingungen jeweils geringfügig variieren. Dies führt zu einer Reihe unterschiedlicher Vorhersagen und einem Wettermoderator, der eher mit prozentualen Chancen als mit Gewissheiten spricht.

Siehe auch: In unserer Zeit.

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